第5問

補題：$2n+1$ 個の相異なる非零実数 $n$ 個組が与えられたとき、そのうちある二つ $(a_1,\ldots,a_n)$ と $(b_1,\ldots,b_n)$ は $a_1b_1+\cdots+a_nb_n>0$ を満たす。これは $n$ に関する帰納法で証明される（$n=1$ では自明で、非零実数三つの中に同符号の二つがある）；帰納段階では、座標の回転により一つの組が $(0,\ldots,0,1)$ である場合に帰着でき、他のある組の最後の成分が負であるか（その場合終わり）、または残りすべての組の最後の成分が非負であり、その座標を除いて得られる $2n-1$ 個の $(n-1)$ 個組に帰納法の仮定を適用する（二つが一致する場合は注意が必要）。