第5問

$|A_i|\ge2i+1$ と仮定する。$A_i$ の中で唯一の非零成分が位置 $i$ にある組は高々二つである（三つあれば同符号の二つが強制され $|a_ib_i|\ge2$ となり exquisite に反する）；それらを除去し、残った組のうち $i$ 番目の座標が負のものは符号を反転する（これは exquisite 性を保つ）。残った少なくとも $2i-2$ 個の組のうち、二つが最初の $i-1$ 個の座標を共有する（このとき $a_1b_1+\cdots+a_{i-1}b_{i-1}\ge1$）か、あるいはそれらの $(i-1)$ 個組への切り詰めに補題を適用すると $a_1b_1+\cdots+a_{i-1}b_{i-1}\ge1$ となる二つが得られる。いずれの場合も、$i$ 番目の座標の正の寄与 $a_ib_i\ge1$ を加えると内積の合計は少なくとも $2$ となり、exquisite の仮定に矛盾する。したがって $|A_i|\le2i$ であり、$i$ について総和を取ると $|A|\le n^2+n$ となるので、互いに exquisite な組の最大個数は $1+n^2+n=n^2+n+1$ であり、構成と一致する。