第1問三角形 ABC の垂心を H とする。M, N をそれぞれ辺 AB, AC の中点とする。H が四角形 BMNC の内部にあり、三角形 BMH と CNH の外接円が互いに接しているとする。H を通り BC に平行な直線が三角形 BMH と CNH の外接円とそれぞれ点 K, L で交わるとする。MK と NL の交点を F とし、三角形 MHN の内心を J とする。FJ=FA であることを証明せよ。解答: 1
第2問関数 f(x)、g(x) を f(x)=x1+x−21+x−41+⋯+x−20181、g(x)=x−11+x−31+x−51+⋯+x−20171 で定める。0<x<2018 を満たす整数でない任意の実数 x について、∣f(x)−g(x)∣>2 を証明せよ。解答: 1
第3問平面上の n 個の正方形の集まりが、次の条件を満たすとき三重連結であるという。(i) すべての正方形は合同である。(ii) 二つの正方形が点 P を共有するならば、P はそれぞれの正方形の頂点である。(iii) 各正方形はちょうど三つの他の正方形と接する。2018≤n≤3018 を満たす正の整数 n のうち、三重連結な n 個の正方形の集まりが存在するものはいくつあるか。解答: 1
第4問ABC を正三角形とする。頂点 A から三角形の内部に向けて、いずれかの辺に達する半直線を引く。半直線が辺に達すると反射の法則に従って跳ね返る、すなわち有向角 θ で到達すれば有向角 180∘−θ で出発する。n 回の反射の後、半直線は他の二つの頂点のいずれにも達することなく A に戻る。n としてありうる値をすべて求めよ。解答: 1