第1問

内心 $I$ をもつ三角形 $XYZ$ において、$\angle YXZ$ の内角二等分線が三角形 $XYZ$ の外接円と再び交わる点を $D$（すなわち $X$ を含まない弧 $YZ$ の中点）とする。$\angle DIY$ は三角形 $IXY$ の $I$ における外角なので $\angle DIY=\angle IXY+\angle IYX=\tfrac12\angle X+\tfrac12\angle Y$。また $\angle DYZ=\angle DXZ=\tfrac12\angle X$（弧 $DZ$ が同じ）、$\angle ZYI=\tfrac12\angle Y$ なので $\angle DYI=\angle DYZ+\angle ZYI=\tfrac12\angle X+\tfrac12\angle Y=\angle DIY$。よって三角形 $DIY$ は二等辺三角形で $DI=DY$、対称な議論で $DI=DZ$ も成り立つ。後で三角形 $MHN$ に $D=F$、$I=J$ として適用する。