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第1問

三角形 ABCABC の垂心を HH とする。MM, NN をそれぞれ辺 ABAB, ACAC の中点とする。HH が四角形 BMNCBMNC の内部にあり、三角形 BMHBMH と CNHCNH の外接円が互いに接しているとする。HH を通り BCBC に平行な直線が三角形 BMHBMH と CNHCNH の外接円とそれぞれ点 KK, LL で交わるとする。MKMK と NLNL の交点を FF とし、三角形 MHNMHN の内心を JJ とする。FJ=FAFJ = FA であることを証明せよ。
ステップ 3/7: 垂心と接することを利用する
前のステップ次のステップ
∠ABH=90∘−∠BAC=∠ACH,∠MHN=∠MBH+∠NCH=180∘−2∠BAC\angle ABH = 90^\circ-\angle BAC=\angle ACH,\qquad \angle MHN=\angle MBH+\angle NCH=180^\circ-2\angle BAC
詳しい解説

HH は三角形 ABCABC の垂心なので、BB からの高は ACAC に垂直であり、∠ABH=90∘−∠BAC\angle ABH=90^\circ-\angle BAC、対称的に ∠ACH=90∘−∠BAC\angle ACH=90^\circ-\angle BAC となる。BMHBMH と CNHCNH の外接円が HH で接しているので、HH における接線と弦のなす角がこれらと組み合わさって ∠MHN=∠MBH+∠NCH=180∘−2∠BAC\angle MHN=\angle MBH+\angle NCH=180^\circ-2\angle BAC を得る。