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第1問

三角形 ABCABC の垂心を HH とする。MM, NN をそれぞれ辺 ABAB, ACAC の中点とする。HH が四角形 BMNCBMNC の内部にあり、三角形 BMHBMH と CNHCNH の外接円が互いに接しているとする。HH を通り BCBC に平行な直線が三角形 BMHBMH と CNHCNH の外接円とそれぞれ点 KK, LL で交わるとする。MKMK と NLNL の交点を FF とし、三角形 MHNMHN の内心を JJ とする。FJ=FAFJ = FA であることを証明せよ。
ステップ 4/7: 平行な弦を通して角度を移す
前のステップ次のステップ
∠MBH=∠MKH=∠NCH=∠NLH=90∘−∠BAC,∠FMN=∠FNM=90∘−∠BAC,∠MFN=2∠BAC\angle MBH=\angle MKH=\angle NCH=\angle NLH=90^\circ-\angle BAC,\qquad \angle FMN=\angle FNM=90^\circ-\angle BAC,\qquad \angle MFN=2\angle BAC
詳しい解説

M,B,H,KM,B,H,K は同一円上にあるので ∠MKH=∠MBH\angle MKH=\angle MBH、N,C,H,LN,C,H,L も同一円上にあるので ∠NLH=∠NCH\angle NLH=\angle NCH；ステップ3と合わせるとこれら4つの角はすべて 90∘−∠BAC90^\circ-\angle BAC になる。中点連結線 MNMN と HH を通る直線 KLKL はともに BCBC に平行なので MN∥KLMN\parallel KL、したがって MKMK、NLNL が MNMN となす角 ∠FMN\angle FMN、∠FNM\angle FNM も 90∘−∠BAC90^\circ-\angle BAC となり、∠MFN=180∘−2(90∘−∠BAC)=2∠BAC\angle MFN=180^\circ-2(90^\circ-\angle BAC)=2\angle BAC を得る。