MathLabs

第1問

三角形 ABCABC の垂心を HH とする。MM, NN をそれぞれ辺 ABAB, ACAC の中点とする。HH が四角形 BMNCBMNC の内部にあり、三角形 BMHBMH と CNHCNH の外接円が互いに接しているとする。HH を通り BCBC に平行な直線が三角形 BMHBMH と CNHCNH の外接円とそれぞれ点 KK, LL で交わるとする。MKMK と NLNL の交点を FF とし、三角形 MHNMHN の内心を JJ とする。FJ=FAFJ = FA であることを証明せよ。
ステップ 6/7: 三角形 MHN に補題を適用する
前のステップ次のステップ
H,J,F are collinear,FJ=FM=FNH, J, F\ \text{are collinear}, \qquad FJ=FM=FN
詳しい解説

MFNHMFNH は円に内接し FM=FNFM=FN、FF は HH を含まない弧上にあるので、FF は HH を含まない弧 MNMN の中点であり、直線 HFHF は ∠MHN\angle MHN を二等分する。JJ は三角形 MHNMHN の内心なのでこの二等分線上にあり、H,J,FH,J,F は共線である。ステップ1の補題を三角形 MHNMHN に X=HX=H、D=FD=F、I=JI=J として適用すると FJ=FM=FNFJ=FM=FN を得る。