第2問

関数

f(x)

、

g(x)

を

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

、

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

で定める。

0<x<2018

を満たす整数でない任意の実数

x

について、

|f(x)-g(x)|>2

を証明せよ。

ステップ 1/6: f と g を和で表す

f(x)=\sum_{k=0}^{1009}\frac1{x-2k},\qquad g(x)=\sum_{k=0}^{1008}\frac1{x-(2k+1)}

詳しい解説

関数 $f$ は偶数のずれ $0,2,\dots,2018$ をもつ $1010$ 個の項の和、 $g$ は奇数のずれ $1,3,\dots,2017$ をもつ $1009$ 個の項の和である。どちらも整数 $0,1,\dots,2018$ でちょうど定義されず、これらは仮定により除外されている。