第2問

関数

f(x)

、

g(x)

を

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

、

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

で定める。

0<x<2018

を満たす整数でない任意の実数

x

について、

|f(x)-g(x)|>2

を証明せよ。

ステップ 3/6: 2だけずらしても d は減らない

前のステップ次のステップ

d(x)=g(x)-f(x),\qquad d(x+2)-d(x)=\Big(\frac1{x+1}-\frac1{x+2}\Big)-\Big(\frac1{x-2017}-\frac1{x-2018}\Big)\ge 0

詳しい解説

$d=g-f$ とする。和の添字を付け替えると $d(x+2)-d(x)$ はちょうど示した二つの括弧の差にテレスコープする。関係する範囲の $x$ では、 $x+1<x+2$ なので第一の括弧は正であり、 $x-2017$ と $x-2018$ はともに大きな負の数で $x-2018$ の方がより負なので第二の括弧は非正である。よって $d(x+2)\ge d(x)$ 。したがって族 $2n-1<x<2n$ の中で $d$ の値は $n=1$ のとき最小になるので、 $1<x<2$ で $d(x)>2$ を示せば十分である。