第2問

関数

f(x)

、

g(x)

を

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

、

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

で定める。

0<x<2018

を満たす整数でない任意の実数

x

について、

|f(x)-g(x)|>2

を証明せよ。

ステップ 4/6: 四つの項を取り出し残りが正であることを示す

前のステップ次のステップ

d(x)=\underbrace{\frac1{x-1}-\frac1x-\frac1{x-2}+\frac1{x-3}}_{\text{four dominant terms}}+\sum_{k=2}^{1008}\Big(\frac1{x-(2k+1)}-\frac1{x-2k}\Big)-\frac1{x-2018}

詳しい解説

$1<x<2$ かつ $k=2,\dots,1008$ のとき、 $x-(2k+1)$ と $x-2k$ はともに負で $x-(2k+1)<x-2k$ なので $\frac1{x-(2k+1)}>\frac1{x-2k}$ となり、和の各括弧内の項は正である。さらに $x-2018<0$ なので $-\frac1{x-2018}>0$ 。したがって最初の四項以外の和は真に正であり、四つの主要項だけで $2$ を超えることを示せばよい。