第2問

関数

f(x)

、

g(x)

を

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

、

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

で定める。

0<x<2018

を満たす整数でない任意の実数

x

について、

|f(x)-g(x)|>2

を証明せよ。

ステップ 5/6: 四つの項を組み替える

\frac1{x-1}-\frac1x-\frac1{x-2}+\frac1{x-3}=\Big(\frac1{x-1}+\frac1{2-x}\Big)+\frac3{x(x-3)}

詳しい解説

$-\frac1{x-2}=\frac1{2-x}$ 、また $-\frac1x+\frac1{x-3}=\frac{-(x-3)+x}{x(x-3)}=\frac3{x(x-3)}$ であるから、四つの主要項はちょうど示した対称な対と一つの分数の和に分解される。