第2問

関数

f(x)

、

g(x)

を

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

、

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

で定める。

0<x<2018

を満たす整数でない任意の実数

x

について、

|f(x)-g(x)|>2

を証明せよ。

ステップ 6/6: 各部分を評価し結論する

前のステップ次のステップ

\frac1{x-1}+\frac1{2-x}\ge 4,\qquad \frac3{x(x-3)}>-\frac32,\qquad d(x)>4-\frac32=\frac52>2

詳しい解説

$(x-1)+(2-x)=1$ なので、AM–HM 不等式より $\frac1{x-1}+\frac1{2-x}\ge\frac{4}{(x-1)+(2-x)}=4$ 、等号は $x=\tfrac32$ で成立する。 $1<x<2$ のとき二次式 $x(x-3)$ は $[-\tfrac94,-2)$ の範囲をとるので $|x(x-3)|>2$ 、よって $\frac3{x(x-3)}>-\tfrac32$ 。これらの評価を足すと $1<x<2$ で $d(x)>4-\tfrac32=\tfrac52>2$ となり、ステップ3〜4によりこれはすべての区間 $2n-1<x<2n$ で $d(x)=g(x)-f(x)>2$ であることを示す。ステップ2より、 $f,g$ を入れ替えて同じ評価を用いれば $2n<x<2n+1$ も覆われるので、 $0<x<2018$ を満たす整数でないすべての $x$ に対し $|f(x)-g(x)|>2$ が成り立つ。