第4問

単位三角形の一辺に関して頂点 $(a,b)$ を反射しても $a-b\bmod3$ は保たれ、同じ剰余をもつ任意の二頂点はそのような反射で結べるので、$A$ の像の集合 $V$ はちょうど $a\equiv b\pmod3$ を満たす格子点である。$A$ から $(a,b)$ への半直線が $(a,b)$ より前に別の格子点を通るのはちょうど $\gcd(a,b)=d>1$ のときで、このとき $(a/d,b/d)$ が線分 $A(a,b)$ 上にあるから；よって半直線が最初に到達する頂点が $(a,b)\in U$ となるのはちょうど $\gcd(a,b)=1$ のときである。半直線が他の元の頂点に先に当たらずに $A$ に戻るのは、ちょうど $V\cap U$ への方向である。