第5問

整数係数の多項式

P(x)

で、任意の実数

s

t

に対して、

P(s)

と

P(t)

がともに整数ならば

P(st)

も整数となるものをすべて求めよ。

ステップ 1/8: 平行移動と符号で正規化する

前のステップ次のステップ

P(0)\in\mathbb Z;\quad \deg P=0\Rightarrow P\text{ is constant};\quad \deg P=n\ge1:\ P(x)\longmapsto \pm\big(P(x)-P(0)\big),\quad P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i,\ a_n>0

詳しい解説

$P$ は整数係数なので $P(0)$ は自動的に整数である。 $P$ が定数なら、それはすでに整数定数であり最後の族に含まれるので、 $\deg P=n\ge1$ と仮定してよい。 $P$ が上記の性質をもてば、任意の整数 $k$ に対して $P(x)+k$ と $-P(x)$ もその性質をもつので、整数性の仮定は変わらない。そこで $P$ を $\pm\big(P(x)-P(0)\big)$ に置き換え、 $P(0)=0$ かつ $P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i$ の最高次係数 $a_n$ が正であるとしてよい。 $P(x)=x^n$ を示せば十分である。