第5問

整数係数の多項式

P(x)

で、任意の実数

s

t

に対して、

P(s)

と

P(t)

がともに整数ならば

P(st)

も整数となるものをすべて求めよ。

ステップ 3/8: 共通根のgcdを作る

前のステップ次のステップ

P(2)\in\mathbb Z,\ P(t)=p\in\mathbb Z\ \Longrightarrow\ P(2t)\in\mathbb Z,\qquad f(x)=\gcd\big(P(x)-p,\ P(2x)-P(2t)\big)

詳しい解説

$P$ は整数係数なので $P(2)$ は整数である； $P(t)=p\in\mathbb Z$ と合わせて、 $s=2$ に対する仮定より $P(2t)\in\mathbb Z$ を得る。 $P(x)-p$ と $P(2x)-P(2t)$ はともに整数係数多項式で $x=t$ で消えるので、それらの（ $\mathbb Q$ 上で計算した）最大公約数 $f(x)$ は有理係数の非定数多項式であり両方を割り切る。