第5問

$f$ が $P(x)-p$ の真の因子であるとし、$P(x)-p=f(x)g(x)$（$f,g$ は非定数）とする。ガウスの補題より、$f,g$ のスカラー倍である整数係数の $f_1,g_1$ が存在して $P(x)-p=f_1(x)g_1(x)$；$f_1(0)g_1(0)=P(0)-p=-p$ かつ $p$ は素数なので、$f_1(0)=\pm1$ としてよい。もし $f_1$ のすべての根の絶対値が $1$ より大きければ、$|f_1(0)|$ は $f_1$ の最高次係数（絶対値 $\ge1$ の整数）と根の大きさの積に等しくなり $1$ を超える；これは $|f_1(0)|=1$ に矛盾する。よって $f_1$、したがって $P(x)-p$ は $|r|\le1$ を満たす根 $r$ をもつ。