第5問

整数係数の多項式

P(x)

で、任意の実数

s

t

に対して、

P(s)

と

P(t)

がともに整数ならば

P(st)

も整数となるものをすべて求めよ。

ステップ 5/8: 矛盾により真の因子は排除される

前のステップ次のステップ

P(r)=p,\qquad |P(r)|\le\sum_{i=1}^n|a_i|\,|r|^i\le\sum_{i=1}^n|a_i|<p\quad\text{(contradiction)}

詳しい解説

$|r|\le1$ かつ $P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i$ なので、 $p$ の取り方より $|P(r)|\le\sum_{i=1}^n|a_i||r|^i\le\sum_{i=1}^n|a_i|<p$ である。しかしステップ4より $P(r)=p$ なので $p<p$ となり矛盾する。よって $f$ は真の因子ではあり得ない： $f$ は $P(x)-p$ 自身のスカラー倍であり、 $\big(P(x)-p\big)\mid\big(P(2x)-P(2t)\big)$ である。