第5問

整数係数の多項式

P(x)

で、任意の実数

s

t

に対して、

P(s)

と

P(t)

がともに整数ならば

P(st)

も整数となるものをすべて求めよ。

ステップ 6/8: 係数を比較して低次の項を消す

前のステップ次のステップ

P(2x)-P(2t)=2^n\big(P(x)-p\big)\ \Longrightarrow\ a_i(2^i-2^n)=0\ (i<n)\ \Longrightarrow\ P(x)=a_nx^n

詳しい解説

両辺とも $x$ について次数 $n$ である；最高次係数（左辺の $a_n2^n$ ）を比較すると $P(2x)-P(2t)$ はちょうど $2^n\big(P(x)-p\big)$ に等しいことが分かる。各 $i<n$ について $x^i$ の係数を比較すると $a_i2^i=2^na_i$ 、すなわち $a_i(2^i-2^n)=0$ となる； $i<n$ では $2^i\ne2^n$ なので、これは $a_i=0$ を強制する。よって $P(x)=a_nx^n$ である。