ステップ1〜6より正規化した多項式は xnx^nxn であるので、ステップ1の符号と平行移動を戻すと、ある整数 n≥0n\ge0n≥0 と整数 kkk について P(x)=±xn+kP(x)=\pm x^n+kP(x)=±xn+k を得る。逆に P(x)=±xn+kP(x)=\pm x^n+kP(x)=±xn+k で P(s),P(t)P(s),P(t)P(s),P(t) が整数ならば sn,tns^n,t^nsn,tn は整数であり、(st)n=sntn(st)^n=s^nt^n(st)n=sntn も整数、よって P(st)=±(st)n+kP(st)=\pm(st)^n+kP(st)=±(st)n+k も整数である。したがってこれらがまさに求める性質をもつ多項式である。