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第1問

Z+\mathbb{Z}^+ を正整数全体の集合とする。すべての正整数 aa, bb に対して a2+f(a)f(b)a^2+f(a)f(b) が f(a)+bf(a)+b で割り切れるような関数 f:Z+→Z+f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+ をすべて求めよ。
ステップ 1/6: a=b=1を代入する
f(1)+1∣f(1)2+1 ⟹ f(1)=1f(1)+1 \mid f(1)^2+1 \ \Longrightarrow\ f(1)=1
詳しい解説

整除条件に a=b=1a=b=1 を代入すると f(1)+1∣1+f(1)2f(1)+1\mid1+f(1)^2 を得る。f(1)2+1=(f(1)−1)(f(1)+1)+2f(1)^2+1=(f(1)-1)(f(1)+1)+2 なので、これは f(1)+1∣2f(1)+1\mid2 に帰着し、f(1)f(1) が正整数であることから f(1)+1=2f(1)+1=2、よって f(1)=1f(1)=1 である。