アジア太平洋数学オリンピック · 2019年

問題

第1問 $\mathbb{Z}^+$ を正整数全体の集合とする。すべての正整数 $a$ , $b$ に対して $a^2+f(a)f(b)$ が $f(a)+b$ で割り切れるような関数 $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ をすべて求めよ。解答: 1
第2問 $m$ を固定された正整数とする。無限数列 $\{a_n\}_{n\ge1}$ を次のように定める： $a_1$ は正整数であり、任意の整数 $n\ge1$ に対して、 $a_n<2^m$ のとき $a_{n+1}=a_n^2+2^m$ 、 $a_n\ge2^m$ のとき $a_{n+1}=a_n/2$ とする。各 $m$ について、数列のすべての項が整数となるような $a_1$ の可能な値をすべて求めよ。解答: 1
第3問 $ABC$ を不等辺三角形とし、外接円を $\Omega$ とする。 $M$ を $BC$ の中点とする。線分 $AM$ 上に動点 $P$ をとる。三角形 $BPM$ と $CPM$ の外接円は、それぞれ $\Omega$ と再び点 $D$ 、 $E$ で交わる。直線 $DP$ と $EP$ は、それぞれ三角形 $CPM$ と $BPM$ の外接円と再び点 $X$ 、 $Y$ で交わる。 $P$ が動くとき、三角形 $AXY$ の外接円が常に $A$ と異なる定点 $T$ を通ることを証明せよ。解答: 1
第4問各単位正方形に整数が書かれた $2018\times2019$ の盤を考える。二つの単位正方形は、辺を共有するとき隣接しているという。各ターンでは、いくつかの単位正方形が選ばれる；その後、選ばれた各正方形について、そのすべての隣接正方形の平均が計算され、最後に、これらすべての計算が終わった後、選ばれた各正方形の数はその対応する平均で置き換えられる。有限回のターンの後、すべての正方形の数を等しくすることは常に可能か。解答: 1
第5問任意の実数 $x$ , $y$ に対して $f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ をすべて求めよ。解答: 1