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第1問

Z+\mathbb{Z}^+ を正整数全体の集合とする。すべての正整数 aa, bb に対して a2+f(a)f(b)a^2+f(a)f(b) が f(a)+bf(a)+b で割り切れるような関数 f:Z+→Z+f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+ をすべて求めよ。
ステップ 2/6: 下限のためa=1を代入する
b+1∣f(b)+1 ⟹ f(b)≥b for all bb+1\mid f(b)+1 \ \Longrightarrow\ f(b)\ge b\ \text{for all}\ b
詳しい解説

a=1a=1 とすると b+1∣1+f(1)f(b)=1+f(b)b+1\mid1+f(1)f(b)=1+f(b) を得る。f(b)+1=k(b+1)f(b)+1=k(b+1)(kk は正整数)と書くと f(b)=k(b+1)−1≥(b+1)−1=bf(b)=k(b+1)-1\ge(b+1)-1=b となる。よってすべての正整数 bb について f(b)≥bf(b)\ge b である。