第1問

\mathbb{Z}^+

を正整数全体の集合とする。すべての正整数

a

b

に対して

a^2+f(a)f(b)

が

f(a)+b

で割り切れるような関数

f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+

をすべて求めよ。

ステップ 4/6: 奇素数における値を確定する

前のステップ次のステップ

2f(p)\mid p^2+f(p)f(f(p))\ \Longrightarrow\ f(p)\mid p^2\ \Longrightarrow\ f(p)=p\ \text{for every odd prime}\ p

詳しい解説

奇素数 $p$ に対して $a=p$ , $b=f(p)$ とすると、条件は $f(p)+f(p)\mid p^2+f(p)f(f(p))$ 、すなわち $2f(p)\mid p^2+f(p)f(f(p))$ となる。 $f(p)\mid f(p)f(f(p))$ なので $f(p)\mid p^2+f(p)f(f(p))$ も成り立ち、よって $f(p)\mid p^2$ である。 $p$ は素数なので $f(p)\in\{1,p,p^2\}$ ；ステップ2は $1$ を除外し（ $f(p)\ge p>1$ なので）、ステップ3は $p^2$ を除外する（ $f(p)\le p^2-2$ なので）。よって $f(p)=p$ である。