第2問

m

を固定された正整数とする。無限数列

\{a_n\}_{n\ge1}

を次のように定める：

a_1

は正整数であり、任意の整数

n\ge1

に対して、

a_n<2^m

のとき

a_{n+1}=a_n^2+2^m

、

a_n\ge2^m

のとき

a_{n+1}=a_n/2

とする。各

m

について、数列のすべての項が整数となるような

a_1

の可能な値をすべて求めよ。

ステップ 1/7: 奇数部分を評価する

前のステップ次のステップ

a_i=b_i2^{c_i},\ b_i\ \text{odd};\qquad b_i>2^m\ \Longrightarrow\ \text{eventually a division of an odd number by }2

詳しい解説

各項を $a_i=b_i2^{c_i}$ （ $b_i$ は奇数）と書く。ある $b_i>2^m$ が存在すれば、 $c_i>0$ である限り $a_i\ge b_i>2^m$ なので半分にする規則が適用され $c$ は $1$ 減り $b_i$ は変わらない； $c_i$ が $0$ になると、その項は奇数 $b_i>2^m$ に等しくなり、やはり半分にする規則を引き起こすが、 $b_i$ が奇数なので $b_i/2$ は整数にならない。よってすべての項が整数ならば、すべての $i$ について $b_i\le2^m$ である。