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第2問

mm を固定された正整数とする。無限数列 {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} を次のように定める：a1a_1 は正整数であり、任意の整数 n≥1n\ge1 に対して、an<2ma_n<2^m のとき an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m、an≥2ma_n\ge2^m のとき an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2 とする。各 mm について、数列のすべての項が整数となるような a1a_1 の可能な値をすべて求めよ。
ステップ 3/7: 奇数部分は1で安定する
前のステップ次のステップ
{bi} bounded, non-decreasing, odd ⟹ bi=1 eventually\{b_i\}\ \text{bounded, non-decreasing, odd}\ \Longrightarrow\ b_i=1\ \text{eventually}
詳しい解説

ステップ1〜2より、{bi}\{b_i\} は 2m2^m で上に有界な奇正整数からなる非減少数列なので、有限個の値しかとらず最終的に一定になる、すなわち i≥Ji\ge J で bi=Bb_i=B とする。大きい方の規則は永遠には適用できない（使うたびに cic_i が 11 減り、ci≥0c_i\ge0 なので）、よって小さい方の規則が無限回適用される；それらのステップで bib_i が一定であり続けるには、ステップ2よりそのたびに境界の場合が強制され、bi=1b_i=1 が必要になる。よって B=1B=1：最終的にすべての項が二のべきになる。