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第2問

mm を固定された正整数とする。無限数列 {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} を次のように定める：a1a_1 は正整数であり、任意の整数 n≥1n\ge1 に対して、an<2ma_n<2^m のとき an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m、an≥2ma_n\ge2^m のとき an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2 とする。各 mm について、数列のすべての項が整数となるような a1a_1 の可能な値をすべて求めよ。
ステップ 4/7: 着地点がm=2を強制する
前のステップ次のステップ
descending power of two lands at exponent m−1;m−1=m2 ⟹ m=2\text{descending power of two lands at exponent}\ m-1;\qquad m-1=\tfrac m2\ \Longrightarrow\ m=2
詳しい解説

すべての項が二のべきになった後、ai=2kia_i=2^{k_i} とすると、大きい方の規則は ki≥mk_i\ge m のとき発動し毎回 kik_i をちょうど 11 減らすので、最初に mm 未満になる指数は常にちょうど k=m−1k=m-1 である；これがまさに次に小さい方の規則が発動する場所である。ステップ3より、奇数部分を永遠に 11 に保つには、そのような着地が毎回境界の場合 2ci=m2c_i=m、すなわち ki=m/2k_i=m/2 である必要がある。着地する指数は常に m−1m-1 なので、整合性から m−1=m/2m-1=m/2、すなわち m=2m=2 が強制される；他の mm ではこの着地により奇数部分 bi+1=1+2∣m−1−m/2∣>1b_{i+1}=1+2^{|m-1-m/2|}>1 が生じ、ステップ3の議論を繰り返すと奇数部分は最終的に 2m2^m を超え、ステップ1に矛盾する。よって m=2m=2 が唯一可能な値である。