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第2問

mm を固定された正整数とする。無限数列 {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} を次のように定める：a1a_1 は正整数であり、任意の整数 n≥1n\ge1 に対して、an<2ma_n<2^m のとき an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m、an≥2ma_n\ge2^m のとき an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2 とする。各 mm について、数列のすべての項が整数となるような a1a_1 の可能な値をすべて求めよ。
ステップ 5/7: 最初から奇数部分3を排除する
前のステップ次のステップ
m=2:a1<4 ⇒ b1∈{1,3};b1=3 ⟹ a2=13, b2=13>4 (contradicts step 1)m=2:\quad a_1<4\ \Rightarrow\ b_1\in\{1,3\};\qquad b_1=3\ \Longrightarrow\ a_2=13,\ b_2=13>4\ (\text{contradicts step 1})
詳しい解説

m=2m=2 のとき、ステップ1より b1≤4b_1\le4 が必要で、b1b_1 が奇数であることから b1∈{1,3}b_1\in\{1,3\} である。大きい方の規則は奇数部分を保つので、b1=3b_1=3 なら数列は繰り返し半分にする間ずっと奇数部分 33 を保ち、項 a=3a=3 自体に達すると（3<43<4 なので）an+1=32+4=13a_{n+1}=3^2+4=13 となり、その奇数部分 1313 は 2m=42^m=4 を超え、ステップ1に矛盾する。よって b1=1b_1=1：a1a_1 自身が二のべきでなければならず、ある整数 ℓ≥0\ell\ge0 について a1=2ℓa_1=2^\ell である。