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第2問

mm を固定された正整数とする。無限数列 {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} を次のように定める：a1a_1 は正整数であり、任意の整数 n≥1n\ge1 に対して、an<2ma_n<2^m のとき an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m、an≥2ma_n\ge2^m のとき an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2 とする。各 mm について、数列のすべての項が整数となるような a1a_1 の可能な値をすべて求めよ。
ステップ 6/7: 指数0を排除する
前のステップ次のステップ
ℓ=0: a1=1<4 ⇒ a2=5, b2=5>4 (contradicts step 1) ⟹ ℓ≥1\ell=0:\ a_1=1<4\ \Rightarrow\ a_2=5,\ b_2=5>4\ (\text{contradicts step 1})\ \Longrightarrow\ \ell\ge1
詳しい解説

ℓ=0\ell=0、すなわち a1=1<4a_1=1<4 ならば、小さい方の規則より a2=12+4=5a_2=1^2+4=5 となり、その奇数部分 55 はすでに 2m=42^m=4 を超え、ステップ1に矛盾する。よって ℓ=0\ell=0 は不可能であり、ℓ≥1\ell\ge1 が残る。