MathLabs

第3問

ABCABC を不等辺三角形とし、外接円を Ω\Omega とする。MM を BCBC の中点とする。線分 AMAM 上に動点 PP をとる。三角形 BPMBPM と CPMCPM の外接円は、それぞれ Ω\Omega と再び点 DD、EE で交わる。直線 DPDP と EPEP は、それぞれ三角形 CPMCPM と BPMBPM の外接円と再び点 XX、YY で交わる。PP が動くとき、三角形 AXYAXY の外接円が常に AA と異なる定点 TT を通ることを証明せよ。
ステップ 1/9: 最初の根心を直線AM上に特定する
前のステップ次のステップ
N=radical center of Ω, ⊙(BPM), ⊙(CPM) ⟹ BD, CE, PM concur at N,N∈AMN=\text{radical center of }\Omega,\ \odot(BPM),\ \odot(CPM)\ \Longrightarrow\ BD,\ CE,\ PM\ \text{concur at}\ N,\quad N\in AM
詳しい解説

Ω\Omega、⊙(BPM)\odot(BPM)、⊙(CPM)\odot(CPM) の根心を NN とする。それぞれの対の根軸は BDBD（Ω,⊙(BPM)\Omega,\odot(BPM) の共有点）、CECE（Ω,⊙(CPM)\Omega,\odot(CPM) の共有点）、PMPM（⊙(BPM),⊙(CPM)\odot(BPM),\odot(CPM) の共有点）であり、これら三直線は NN で交わる。PP と MM はともに線分 AMAM 上にあるので、直線 PMPM はちょうど直線 AMAM であり、N∈AMN\in AM である。