MathLabs

第3問

ABCABC を不等辺三角形とし、外接円を Ω\Omega とする。MM を BCBC の中点とする。線分 AMAM 上に動点 PP をとる。三角形 BPMBPM と CPMCPM の外接円は、それぞれ Ω\Omega と再び点 DD、EE で交わる。直線 DPDP と EPEP は、それぞれ三角形 CPMCPM と BPMBPM の外接円と再び点 XX、YY で交わる。PP が動くとき、三角形 AXYAXY の外接円が常に AA と異なる定点 TT を通ることを証明せよ。
ステップ 2/9: 角度追跡で二組の平行を得る
前のステップ次のステップ
∠MCE=∠MPE=∠MPY=∠MBY ⟹ BY∥CE;similarlyCX∥BD\angle MCE=\angle MPE=\angle MPY=\angle MBY\ \Longrightarrow\ BY\parallel CE;\qquad \text{similarly}\quad CX\parallel BD
詳しい解説

C,M,P,EC,M,P,E が共円なので ∠MCE=∠MPE\angle MCE=\angle MPE；P,E,YP,E,Y が共線なので ∠MPE=∠MPY\angle MPE=\angle MPY；B,M,P,YB,M,P,Y が共円なので ∠MPY=∠MBY\angle MPY=\angle MBY。直線 CECE と BYBY が直線 BCBC（CC と BB を通る）となす等しい有向角 ∠MCE=∠MBY\angle MCE=\angle MBY より BY∥CEBY\parallel CE が分かる。B,M,P,DB,M,P,D と D,P,XD,P,X と C,M,P,XC,M,P,X の共円・共線を用いた対称な議論から CX∥BDCX\parallel BD を得る。