MathLabs

第3問

ABCABC を不等辺三角形とし、外接円を Ω\Omega とする。MM を BCBC の中点とする。線分 AMAM 上に動点 PP をとる。三角形 BPMBPM と CPMCPM の外接円は、それぞれ Ω\Omega と再び点 DD、EE で交わる。直線 DPDP と EPEP は、それぞれ三角形 CPMCPM と BPMBPM の外接円と再び点 XX、YY で交わる。PP が動くとき、三角形 AXYAXY の外接円が常に AA と異なる定点 TT を通ることを証明せよ。
ステップ 3/9: NをMに関して対称移動させAMに戻す
前のステップ次のステップ
L=BY∩CX ⟹ BNCL is a parallelogram ⟹ L=2M−N∈AML=BY\cap CX\ \Longrightarrow\ BNCL\ \text{is a parallelogram}\ \Longrightarrow\ L=2M-N\in AM
詳しい解説

L=BY∩CXL=BY\cap CX とする。CLCL は CX∥BDCX\parallel BD 上にあるので CL∥BNCL\parallel BN；LBLB は BY∥CEBY\parallel CE 上にあるので LB∥NCLB\parallel NC。よって BNCLBNCL は対辺の両方の組が平行であり平行四辺形となり、その対角線 BC,NLBC,NL は互いを二等分する。MM が BCBC の中点であることから MM は NLNL の中点でもあり、LL は NN を MM に関して対称移動した点である。ステップ1より N∈AMN\in AM なので、点 M∈AMM\in AM に関するその対称点 LL も直線 AMAM 上にある。