MathLabs

第3問

ABCABC を不等辺三角形とし、外接円を Ω\Omega とする。MM を BCBC の中点とする。線分 AMAM 上に動点 PP をとる。三角形 BPMBPM と CPMCPM の外接円は、それぞれ Ω\Omega と再び点 DD、EE で交わる。直線 DPDP と EPEP は、それぞれ三角形 CPMCPM と BPMBPM の外接円と再び点 XX、YY で交わる。PP が動くとき、三角形 AXYAXY の外接円が常に AA と異なる定点 TT を通ることを証明せよ。
ステップ 4/9: Lの方冪が新たな内接四角形を与える
前のステップ次のステップ
LY⋅LB=LP⋅LM=LX⋅LC ⟹ B,Y,X,C concyclicLY\cdot LB=LP\cdot LM=LX\cdot LC\ \Longrightarrow\ B,Y,X,C\ \text{concyclic}
詳しい解説

LL は PP と MM も含む直線 AMAM 上にあるので、B,YB,Y（と LL）を通る直線、および P,MP,M を通る直線に沿った ⊙(BPM)\odot(BPM) に関する LL の方冪は LY⋅LB=LP⋅LMLY\cdot LB=LP\cdot LM を与える；C,XC,X を通る直線に沿った ⊙(CPM)\odot(CPM) に関する LL の方冪も同様に LX⋅LC=LP⋅LMLX\cdot LC=LP\cdot LM を与える。よって LY⋅LB=LX⋅LCLY\cdot LB=LX\cdot LC となり、方冪の逆定理により B,Y,X,CB,Y,X,C は共円である。