MathLabs

第3問

ABCABC を不等辺三角形とし、外接円を Ω\Omega とする。MM を BCBC の中点とする。線分 AMAM 上に動点 PP をとる。三角形 BPMBPM と CPMCPM の外接円は、それぞれ Ω\Omega と再び点 DD、EE で交わる。直線 DPDP と EPEP は、それぞれ三角形 CPMCPM と BPMBPM の外接円と再び点 XX、YY で交わる。PP が動くとき、三角形 AXYAXY の外接円が常に AA と異なる定点 TT を通ることを証明せよ。
ステップ 6/9: 固定点Q, Rが2本の弦の上にPを運ぶ
前のステップ次のステップ
CQ∥BR∥AM (Q,R∈Ω);∠QDB=∠QCB=∠AMB=∠PDB ⟹ D,P,Q collinear (similarly E,P,R)CQ\parallel BR\parallel AM\ (Q,R\in\Omega);\quad \angle QDB=\angle QCB=\angle AMB=\angle PDB\ \Longrightarrow\ D,P,Q\ \text{collinear (similarly }E,P,R)
詳しい解説

Ω\Omega と CC を通り AMAM に平行な直線との第二交点を QQ、Ω\Omega と BB を通り AMAM に平行な直線との第二交点を RR とする；どちらも固定された方向 AMAM と固定された三角形だけに依存するので固定点である。Q,D,B,C∈ΩQ,D,B,C\in\Omega より ∠QDB=∠QCB\angle QDB=\angle QCB；CQ∥AMCQ\parallel AM より ∠QCB=∠AMB\angle QCB=\angle AMB（横断線 CBCB）；P∈AMP\in AM より ∠AMB=∠PMB\angle AMB=\angle PMB；B,P,M,DB,P,M,D が共円なので ∠PMB=∠PDB\angle PMB=\angle PDB。これらをつなげると ∠QDB=∠PDB\angle QDB=\angle PDB となり、半直線 DQDQ と DPDP が一致する、すなわち D,P,QD,P,Q は共線である。RR についての対称な議論から E,P,RE,P,R が共線であることが分かる。