MathLabs

第3問

ABCABC を不等辺三角形とし、外接円を Ω\Omega とする。MM を BCBC の中点とする。線分 AMAM 上に動点 PP をとる。三角形 BPMBPM と CPMCPM の外接円は、それぞれ Ω\Omega と再び点 DD、EE で交わる。直線 DPDP と EPEP は、それぞれ三角形 CPMCPM と BPMBPM の外接円と再び点 XX、YY で交わる。PP が動くとき、三角形 AXYAXY の外接円が常に AA と異なる定点 TT を通ることを証明せよ。
ステップ 7/9: QRXYは共円である
前のステップ次のステップ
∠PRQ=∠PDE=∠PXY ⟹ Q,R,Y,X concyclic\angle PRQ=\angle PDE=\angle PXY\ \Longrightarrow\ Q,R,Y,X\ \text{concyclic}
詳しい解説

ステップ6より D,P,QD,P,Q と E,P,RE,P,R は共線なので、有向角で ∠PRQ=∠PDE\angle PRQ=\angle PDE。ステップ5の XY∥DEXY\parallel DE より ∠PDE=∠PXY\angle PDE=\angle PXY。したがって ∠PRQ=∠PXY\angle PRQ=\angle PXY、すなわち弦 QYQY を RR と XX から見込む角が等しいので、Q,R,Y,XQ,R,Y,X は共円である。