MathLabs

第3問

ABCABC を不等辺三角形とし、外接円を Ω\Omega とする。MM を BCBC の中点とする。線分 AMAM 上に動点 PP をとる。三角形 BPMBPM と CPMCPM の外接円は、それぞれ Ω\Omega と再び点 DD、EE で交わる。直線 DPDP と EPEP は、それぞれ三角形 CPMCPM と BPMBPM の外接円と再び点 XX、YY で交わる。PP が動くとき、三角形 AXYAXY の外接円が常に AA と異なる定点 TT を通ることを証明せよ。
ステップ 8/9: 二つ目の根心は固定される
前のステップ次のステップ
S=radical center of Ω, ⊙(BCXY), ⊙(QRXY) ⟹ S=BC∩QR∩XY, fixedS=\text{radical center of }\Omega,\ \odot(BCXY),\ \odot(QRXY)\ \Longrightarrow\ S=BC\cap QR\cap XY,\ \text{fixed}
詳しい解説

Ω\Omega、⊙(BCXY)\odot(BCXY)（ステップ4）、⊙(QRXY)\odot(QRXY)（ステップ7）の根心を SS とする。それぞれの対の根軸は BCBC（Ω,⊙(BCXY)\Omega,\odot(BCXY) の共有点）、QRQR（Q,R∈ΩQ,R\in\Omega より Ω,⊙(QRXY)\Omega,\odot(QRXY) の共有点）、XYXY（⊙(BCXY),⊙(QRXY)\odot(BCXY),\odot(QRXY) の共有点）であり、S=BC∩QR∩XYS=BC\cap QR\cap XY となる。Q,RQ,R は固定されており（ステップ6）、B,CB,C も固定された頂点なので、点 S=BC∩QRS=BC\cap QR は PP に依存しない。