MathLabs

第3問

ABCABC を不等辺三角形とし、外接円を Ω\Omega とする。MM を BCBC の中点とする。線分 AMAM 上に動点 PP をとる。三角形 BPMBPM と CPMCPM の外接円は、それぞれ Ω\Omega と再び点 DD、EE で交わる。直線 DPDP と EPEP は、それぞれ三角形 CPMCPM と BPMBPM の外接円と再び点 XX、YY で交わる。PP が動くとき、三角形 AXYAXY の外接円が常に AA と異なる定点 TT を通ることを証明せよ。
ステップ 9/9: 定点TはAXYの円上にある
前のステップ次のステップ
T=AS∩Ω (T≠A), fixed;SX⋅SY=SB⋅SC=ST⋅SA ⟹ A,X,Y,T concyclicT=AS\cap\Omega\ (T\ne A),\ \text{fixed};\qquad SX\cdot SY=SB\cdot SC=ST\cdot SA\ \Longrightarrow\ A,X,Y,T\ \text{concyclic}
詳しい解説

TT を直線 ASAS と Ω\Omega との第二交点とする；SS が固定されており（ステップ8）A,ΩA,\Omega も固定なので、TT は固定される。Ω\Omega に関する SS の方冪は ST⋅SA=SB⋅SCST\cdot SA=SB\cdot SC を与える；⊙(BCXY)\odot(BCXY) に関する SS の方冪は SB⋅SC=SX⋅SYSB\cdot SC=SX\cdot SY を与える。よって SX⋅SY=ST⋅SASX\cdot SY=ST\cdot SA となり、方冪の逆定理により A,T,X,YA,T,X,Y は共円である。したがって三角形 AXYAXY の外接円は常に固定点 T≠AT\ne A を通る。