MathLabs

第4問

各単位正方形に整数が書かれた 2018×20192018\times2019 の盤を考える。二つの単位正方形は、辺を共有するとき隣接しているという。各ターンでは、いくつかの単位正方形が選ばれる；その後、選ばれた各正方形について、そのすべての隣接正方形の平均が計算され、最後に、これらすべての計算が終わった後、選ばれた各正方形の数はその対応する平均で置き換えられる。有限回のターンの後、すべての正方形の数を等しくすることは常に可能か。
ステップ 1/6: すべての次数が可逆な素数を法として扱う
前のステップ次のステップ
2−1≡3,3−1≡2,4−1≡4(mod5)2^{-1}\equiv3,\quad 3^{-1}\equiv2,\quad 4^{-1}\equiv4\pmod5
詳しい解説

各マスは 22、33、または 44 個の隣接マスをもち、2,3,42,3,4 はすべて素数 55 を法として可逆である。よって平均化の操作は対応する逆元を掛けることで完全に 55 を法として実行でき、整数の盤を均等化するターンの列があれば、同じ列を 55 を法とした剰余に適用すると盤も 55 を法として均等化される。