MathLabs

第4問

各単位正方形に整数が書かれた 2018×20192018\times2019 の盤を考える。二つの単位正方形は、辺を共有するとき隣接しているという。各ターンでは、いくつかの単位正方形が選ばれる；その後、選ばれた各正方形について、そのすべての隣接正方形の平均が計算され、最後に、これらすべての計算が終わった後、選ばれた各正方形の数はその対応する平均で置き換えられる。有限回のターンの後、すべての正方形の数を等しくすることは常に可能か。
ステップ 2/6: 明示的な不変な2×3のブロック
前のステップ次のステップ
[010434](mod5)\begin{bmatrix}0&1&0\\4&3&4\end{bmatrix}\pmod5
詳しい解説

2×32\times3 のブロックのマスに a,b,ca,b,c（上段）と d,e,fd,e,f（下段）と名前を付ける。値 a=0,b=1,c=0,d=4,e=3,f=4a=0,b=1,c=0,d=4,e=3,f=4 は、すべてのマスについて、そのマスの値がブロック内の隣接マスの 55 を法とする平均に等しいことを満たす：2a≡b+d2a\equiv b+d、3b≡a+c+e3b\equiv a+c+e、2c≡b+f2c\equiv b+f、2d≡a+e2d\equiv a+e、3e≡d+f+b3e\equiv d+f+b、2f≡c+e(mod5)2f\equiv c+e\pmod5、これは直接確認できる（0≡1+40\equiv1+4、3≡0+0+33\equiv0+0+3 など、すべて 55 を法として）。ブロックはすでに均衡状態にあり b≠ab\ne a なので、そのマスのどの部分集合を選んで更新しても、すべての値は変化しない。