第4問

各単位正方形に整数が書かれた

2018\times2019

の盤を考える。二つの単位正方形は、辺を共有するとき隣接しているという。各ターンでは、いくつかの単位正方形が選ばれる；その後、選ばれた各正方形について、そのすべての隣接正方形の平均が計算され、最後に、これらすべての計算が終わった後、選ばれた各正方形の数はその対応する平均で置き換えられる。有限回のターンの後、すべての正方形の数を等しくすることは常に可能か。

ステップ 4/6: 反射を繰り返して盤全体を敷き詰める

前のステップ次のステップ

2018=2\cdot1009,\quad 2019=3\cdot673\ \Longrightarrow\ \exists\ 2018\times2019\ \text{board in equilibrium mod 5, not all equal}

詳しい解説

ステップ2の $2\times3$ の均衡ブロックから始めて、反射（ステップ3）を繰り返すと均衡を保ったまま寸法が倍になる。 $2018=2\cdot1009$ 、 $2019=3\cdot673$ なので、十分な回数の反射により完全な $2018\times2019$ の盤が構成され、そのすべてのマスは元のブロックから複製された $\{0,1,3,4\}$ のいずれかの値であり、すべてのマスで均衡条件を満たし続ける；ブロック自体に等しくない項がある（ $0\ne1$ ）ので、得られる大きな盤はすべて等しいわけではない。