MathLabs

第4問

各単位正方形に整数が書かれた 2018×20192018\times2019 の盤を考える。二つの単位正方形は、辺を共有するとき隣接しているという。各ターンでは、いくつかの単位正方形が選ばれる；その後、選ばれた各正方形について、そのすべての隣接正方形の平均が計算され、最後に、これらすべての計算が終わった後、選ばれた各正方形の数はその対応する平均で置き換えられる。有限回のターンの後、すべての正方形の数を等しくすることは常に可能か。
ステップ 5/6: 均衡な盤はどのターンの不動点でもある
前のステップ次のステップ
every cell already equals its neighbours’ average ⟹ any turn leaves the board unchanged\text{every cell already equals its neighbours' average} \ \Longrightarrow\ \text{any turn leaves the board unchanged}
詳しい解説

あるターンでは、選ばれた各マスはその隣接マスの現在の値の 55 を法とする平均で置き換えられる；しかし構成により、敷き詰めた盤のすべてのマスはすでにその平均に等しい。よって、どのマスの部分集合が選ばれても、選ばれたすべてのマスは自分自身の現在の値で置き換えられ、選ばれなかったマスは定義により変化しない。したがって 55 を法とする盤はどの単一のターンによっても変化せず、それゆえどんな有限のターンの列によっても変化しない。