MathLabs

第4問

各単位正方形に整数が書かれた 2018×20192018\times2019 の盤を考える。二つの単位正方形は、辺を共有するとき隣接しているという。各ターンでは、いくつかの単位正方形が選ばれる；その後、選ばれた各正方形について、そのすべての隣接正方形の平均が計算され、最後に、これらすべての計算が終わった後、選ばれた各正方形の数はその対応する平均で置き換えられる。有限回のターンの後、すべての正方形の数を等しくすることは常に可能か。
ステップ 6/6: 答えが否であると結論する
前のステップ次のステップ
board mod 5 is never all-equal ⟹ the integer board can never be made all-equal; answer: No\text{board mod 5 is never all-equal} \ \Longrightarrow \ \text{the integer board can never be made all-equal; answer: No}
詳しい解説

敷き詰めた盤の項（{0,1,3,4}\{0,1,3,4\} の値）を実際の整数の初期盤とする。ステップ5より、有限のターンの列ではこの盤は 55 を法として変化せず、55 を法としてすべて等しいわけではないので（ステップ4）、55 を法としてすべて等しい盤には決してなり得ない。ステップ1より、もし整数上ですべて等しくできるなら、同じターンによって 55 を法としてもすべて等しくなるはずであり — 矛盾する。よって、すべての正方形の数を等しくすることは常には可能ではなく、この問題の答えは否である。