第5問

任意の実数

x

y

に対して

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

を満たす関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 1/9: 基本的な値と対称な恒等式

前のステップ次のステップ

f(0)=0;\qquad f(x^2)=f(f(x));\qquad f(x^2+f(y))=f(x^2)+f(y^2)+2f(xy)=f(y^2+f(x))

詳しい解説

$x=y=0$ とすると $f(f(0))=f(f(0))+3f(0)$ となり $f(0)=0$ を得る。次に $y=0$ とすると、すべての $x$ について $f(x^2)=f(f(x))$ を得る。これを用いると、元の方程式の右辺は $f(x^2)+f(y^2)+2f(xy)$ に等しく、これは $x,y$ について対称なので、すべての $x,y$ について $f(x^2+f(y))=f(y^2+f(x))$ が成り立つ；この恒等式を $(*)$ と呼ぶ。