第5問

任意の実数

x

y

に対して

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

を満たす関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 2/9: fは偶関数である

前のステップ次のステップ

2f(x)=f(x^2+f(1))-f(x^2)-f(1)\ \Longrightarrow\ f(-x)=f(x)

詳しい解説

元の方程式に $y=1$ を代入し $f(f(x))=f(x^2)$ を用いると $f(x^2+f(1))=f(x^2)+f(1)+2f(x)$ 、すなわち $2f(x)=f(x^2+f(1))-f(x^2)-f(1)$ を得る。右辺は $x$ に $x^2$ を通してのみ依存し、 $x$ を $-x$ に置き換えても変わらない；よってすべての $x$ について $f(x)=f(-x)$ である。