第5問

任意の実数

x

y

に対して

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

を満たす関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 3/9: 尺度補題

前のステップ次のステップ

f(a)=f(b)\ \Longrightarrow\ f(ax)=f(bx)\ \text{for every real}\ x\qquad(1)

詳しい解説

$f(a)=f(b)$ とする。すると、ステップ1より $f(a^2)=f(f(a))=f(f(b))=f(b^2)$ である。元の方程式に $y=a$ と $y=b$ を代入すると $f(x^2+f(a))=f(f(x))+f(a^2)+2f(xa)$ と $f(x^2+f(b))=f(f(x))+f(b^2)+2f(xb)$ を得る。左辺は等しく（ $f(a)=f(b)$ なので）、 $f(a^2),f(b^2)$ も等しい；二つの恒等式を引くと $2f(xa)=2f(xb)$ 、すなわちすべての実数 $x$ について $f(ax)=f(bx)$ が残る。