第5問

任意の実数

x

y

に対して

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

を満たす関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 4/9: 自明な解以外での零点を排除する

前のステップ次のステップ

f(a)=0,\ a\ne0\ \Longrightarrow\ f\equiv0;\qquad \text{assume}\ f\not\equiv0,\ \text{so}\ f(a)=0\Leftrightarrow a=0

詳しい解説

もしある $a\ne0$ に対して $f(a)=0$ ならば、ステップ3の補題を $b=0$ （ $f(a)=f(0)=0$ なので）で適用する：すべての $x$ について $f(ax)=f(0\cdot x)=f(0)=0$ ； $x=t/a$ とするとすべての実数 $t$ について $f(t)=0$ 、すなわち $f\equiv0$ を得る。この定数関数は元の方程式を自明に満たす。以降は $f\not\equiv0$ の解を探し、この場合 $f(a)=0$ は $a=0$ を強制する。