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第5問

任意の実数 xx, yy に対して f(x2+f(y))=f(f(x))+f(y2)+2f(xy)f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy) を満たす関数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} をすべて求めよ。
ステップ 5/9: 背理法による非負性
前のステップ次のステップ
f(s)=−t2, s,t≠0 ⟹ 4f(s2)=f(s2+f(s))=f(0)=0 (contradiction) ⟹ f≥0 everywheref(s)=-t^2,\ s,t\ne0\ \Longrightarrow\ 4f(s^2)=f\big(s^2+f(s)\big)=f(0)=0\ \text{(contradiction)}\ \Longrightarrow\ f\ge0\ \text{everywhere}
詳しい解説

ある s,t≠0s,t\ne0 について f(s)=−t2f(s)=-t^2 と仮定する。(∗)(*) に x=s,y=tx=s,y=t を用いると f(s2+f(t))=f(t2+f(s))=f(0)=0f(s^2+f(t))=f(t^2+f(s))=f(0)=0 となり、（ステップ4）s2+f(t)=0s^2+f(t)=0、すなわち f(t)=−s2f(t)=-s^2；このとき f(t2)=f(−t2)=f(f(s))=f(s2)f(t^2)=f(-t^2)=f(f(s))=f(s^2)（偶関数性、次に f(s)=−t2f(s)=-t^2、次にステップ1）。(∗)(*) の完全な形を x=s2+t2,y=sx=\sqrt{s^2+t^2},y=s とさらに y=ty=t で適用すると f(s2+t2)+2f(ss2+t2)=0=f(s2+t2)+2f(ts2+t2)f(s^2+t^2)+2f(s\sqrt{s^2+t^2})=0=f(s^2+t^2)+2f(t\sqrt{s^2+t^2}) となり、f(ss2+t2)=f(ts2+t2)f(s\sqrt{s^2+t^2})=f(t\sqrt{s^2+t^2}) を得る；係数 1/s2+t21/\sqrt{s^2+t^2} を用いた補題（ステップ3）より f(s)=f(t)=−s2f(s)=f(t)=-s^2。(∗)(*) の完全な形に x=y=sx=y=s を取ると f(s2+f(s))=4f(s2)f(s^2+f(s))=4f(s^2) となる一方、左辺は f(s2−s2)=f(0)=0f(s^2-s^2)=f(0)=0 である；よって s2≠0s^2\ne0 で f(s2)=0f(s^2)=0 となり、ステップ4に矛盾する。よってそのような s,ts,t は存在せず、すべての実数 xx について f(x)≥0f(x)\ge0 である；ステップ4と合わせて x≠0x\ne0 で f(x)>0f(x)>0 である。