第5問

任意の実数

x

y

に対して

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

を満たす関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 6/9: f(k)=1を解くとk=1が強制される

前のステップ次のステップ

k>0,\ f(k)=1\ \Longrightarrow\ f(1/k)=f(k)=1,\ \text{WLOG}\ k\ge1;\qquad f(k^2-1)=-2f(k\sqrt{k^2-1})\le0\ \Longrightarrow\ k=1

詳しい解説

$k>0$ が $f(k)=1$ を満たすとする。ステップ1より $f(k^2)=f(f(k))=f(1)$ なので、係数 $1/k$ を用いた補題（ステップ3）より $f(k)=f(1/k)$ ；よって $f(1/k)=1$ でもあるので $k\ge1$ としてよい。 $(*)$ の完全な形に $x=\sqrt{k^2-1},y=k$ を用いると： $f(k^2-1+f(k))=f(k^2-1)+f(k^2)+2f(k\sqrt{k^2-1})$ 、すなわち（ $f(k)=1$ を用いて） $f(k^2)=f(k^2-1)+f(k^2)+2f(k\sqrt{k^2-1})$ となるので、ステップ5の非負性より $f(k^2-1)=-2f(k\sqrt{k^2-1})\le0$ 。また $f(k^2-1)\ge0$ でもあるので $f(k^2-1)=0$ を得て、ステップ4より $k^2-1=0$ 、すなわち $k=1$ である。