MathLabs

第5問

任意の実数 xx, yy に対して f(x2+f(y))=f(f(x))+f(y2)+2f(xy)f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy) を満たす関数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} をすべて求めよ。
ステップ 7/9: f(1)=1を確定する
前のステップ次のステップ
m=f(1)>0;m≤1: f(1−m)=−2f(1−m)≤0⇒m=1;m≥1: f(m)=m, f(m2−m)=−2f(m2−m)≤0⇒m=1m=f(1)>0;\quad m\le1:\ f(1-m)=-2f(\sqrt{1-m})\le0\Rightarrow m=1;\quad m\ge1:\ f(m)=m,\ f(m^2-m)=-2f(\sqrt{m^2-m})\le0\Rightarrow m=1
詳しい解説

m=f(1)m=f(1) とする；ステップ5より m>0m>0。m≤1m\le1 なら、(∗)(*) の完全な形に x=1−m,y=1x=\sqrt{1-m},y=1 を用いる：f(1−m+f(1))=f(1−m)+f(1)+2f(1−m)f(1-m+f(1))=f(1-m)+f(1)+2f(\sqrt{1-m}) は f(1)=f(1−m)+f(1)+2f(1−m)f(1)=f(1-m)+f(1)+2f(\sqrt{1-m}) となり、f(1−m)=−2f(1−m)≤0f(1-m)=-2f(\sqrt{1-m})\le0；f(1−m)≥0f(1-m)\ge0 と合わせて f(1−m)=0f(1-m)=0、よって 1−m=01-m=0、すなわち m=1m=1。m≥1m\ge1 なら、ステップ1より f(m)=f(f(1))=f(1)=mf(m)=f(f(1))=f(1)=m なので f(m2)=f(f(m))=f(m)=mf(m^2)=f(f(m))=f(m)=m；(∗)(*) の完全な形に x=m2−m,y=1x=\sqrt{m^2-m},y=1 を用いる：f(m2−m+f(1))=f(m2−m)+f(1)+2f(m2−m)f(m^2-m+f(1))=f(m^2-m)+f(1)+2f(\sqrt{m^2-m}) は f(m2)=f(m2−m)+m+2f(m2−m)f(m^2)=f(m^2-m)+m+2f(\sqrt{m^2-m}) となり、すなわち m=f(m2−m)+m+2f(m2−m)m=f(m^2-m)+m+2f(\sqrt{m^2-m})、よって f(m2−m)=−2f(m2−m)≤0f(m^2-m)=-2f(\sqrt{m^2-m})\le0；f(m2−m)≥0f(m^2-m)\ge0 と合わせて f(m2−m)=0f(m^2-m)=0、よって m2−m=0m^2-m=0、m≥1m\ge1 なので m=1m=1。いずれの場合も f(1)=1f(1)=1。