第5問

任意の実数

x

y

に対して

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

を満たす関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 8/9: 正の実数上でfを決定する

前のステップ次のステップ

x>0,\ m=f(x)\ \Longrightarrow\ f(m/x^2)=f(1)=1\ \Longrightarrow\ m/x^2=1\ \Longrightarrow\ f(x)=x^2

詳しい解説

$x>0$ を固定し $m=f(x)>0$ （ステップ5）とする。ステップ1より $f(m)=f(f(x))=f(x^2)$ ；係数 $1/x^2$ を用いた補題（ステップ3）より $f(m/x^2)=f(x^2/x^2)=f(1)=1$ （ステップ7）。 $m/x^2>0$ なので、ステップ6を $k=m/x^2$ に適用すると $m/x^2=1$ 、すなわち $m=x^2$ を得る。よってすべての $x>0$ について $f(x)=x^2$ である。