第5問

任意の実数

x

y

に対して

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

を満たす関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 9/9: すべての実数に拡張し結論する

前のステップ次のステップ

x<0:\ f(x)=f(-x)=(-x)^2=x^2;\qquad f(0)=0=0^2\ \Longrightarrow\ f(x)=x^2\ \text{for all}\ x

詳しい解説

$x<0$ のとき $-x>0$ なので、ステップ8より $f(-x)=(-x)^2=x^2$ 、偶関数性（ステップ2）より $f(x)=f(-x)=x^2$ である。 $f(0)=0=0^2$ （ステップ1）と合わせて、すべての実数 $x$ について $f(x)=x^2$ が成り立つ。この関数は元の方程式を満たす、なぜなら $f(x^2+f(y))=(x^2+y^2)^2=x^4+2x^2y^2+y^4$ は $f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)=x^4+y^4+2x^2y^2$ に等しいからである。ステップ4の自明な解 $f\equiv0$ と合わせて、解はちょうど、すべての $x$ について $f(x)=0$ 、およびすべての $x$ について $f(x)=x^2$ である。